韦达定理推导过程

韦达定理是初中数学的重要定理，在方程求解过程中经常会被用到。想要更好的应用韦达定理，必然要先理解定理的推导过程，才能在题目中灵活运用。

韦达定理推导过程

设方程ax＾2＋bx＋c＝0的两根分别为x＝m和x＝n，这就说明，ax＾2＋bx＋c可以分解因式成a（x－m）（x－n）的形式，即ax＾2＋bx＋c＝a（x－m）（x－n）＝ax＾2－a（m＋n）x＋amn。比较两边系数，可知，－a（m＋n）＝b，amn＝c；故m＋n＝－b／a，mn＝c／a。

韦达定理：一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。韦达定理常被用于，不求方程的根，而计算或推理出与方程的根密切相关的对称式求值中。

已知a，b是方程x＾2＋1＝7x，求（a＾3－b＾3）（a－b）。

解：由已知条件，利用韦达定理可知，a＋b＝7，ab＝1，那么，（a＾3－b＾3）（a－b）＝（a－b）＾2＊（a＾2＋ab＋b＾2）＝［（a＋b）＾2－4ab］［（a＋b）＾2－ab］＝（7＾2－4）（7＾2－1）＝45＊48＝2160。

韦达定理的起源：

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。在韦达之前，方程中的系数是具体的数值，他首次系统地引入一般的符号代数，这是代数学中的重大进步。

韦达定理公式变形：

x1²＋x2²＝（x1＋x2）²－2x1x2。

1／x1²＋1／x2²＝（x1²＋x2²）／x1x2。

x1²＋x2²＝（x1＋x2）（x1²－x1x2＋x2²）。

【定理拓展】

（1）若两根互为相反数，则b＝0

（2）若两根互为倒数，则a＝c

（3）若一根为0，则c＝0

（4）若一根为1，则a＋b＋c＝0

（5）若一根为－1，则a－b＋c＝0

（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根

【例题】

已知p＋q＝198，求方程x＾2＋px＋q＝0的整数根。

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2。由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q。

于是x1·x2－（x1＋x2）＝p＋q＝198，

即x1·x2－x1－x2＋1＝199。

∴运用提取公因式法（x1－1）·（x2－1）＝199。

注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0。