三角形中的射影定理

射影定理（又称欧几里德定理）俗称母子三角形。这是三角形中的一个基础知识点。

三角形中的射影定理

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。

其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。

简介

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

设直角三角形ABC，AB是斜边，CD是高，则AC的平方=AD×AB

CB的平方=BD×BA

CD的平方=AD×DB；

推出；AC/AB=AD/AC（比例式）

如图，∠ABC=90°，CD⊥AB，则AC^2=AD×AB，BC^2=BD×AB，CD^2=AD×BD。以上比例式合称射影定理。主要用于解决直角三角形斜边及定点与斜边的连线的问题，比如说给出AD和BD的长度求AC:BC。

直角三角形

内容

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）

证明

射影定理简图(几何画板)

：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：

AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

两式相加得：

AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

二、

已知：三角形中角A=90度,AD是高。

用勾股证射影

∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,

∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.

运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

任意三角形

内容

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”  ：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其它的。