完全平方数的判断方法

你知道什么是完全平方数吗？中学数学关于完全平方数的考察有哪些方面？首先，我们应该学会如何判断完全平方数，进而再去了解完全平方数的性质，练习如何应用完全平方数解决问题。

完全平方数的判断方法

1、平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。

2、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

3、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是6时，其十位数字必为奇数。

完全平方数是什么？

“完全平方数”指的是一种数字。就像质数是一个不能简单地通过两个整数相乘得到的数字（质数是一个大于1的正数，只能被1或被它自己整除），完全平方数是一个你通过另一个数字乘以它自己得到的数字。例如，16是一个完全平方数，因为你用4乘以4得到它；144是一个完全平方数，因为它可以通过12乘以它自己得到。

完全平方数的性质：

（1）奇数的平方是8n＋1型；偶数的平方为8n或8n＋4型。（奇数：n比那个所乘的数－1；偶数：n比那个所乘的数－2）

（2）形式必为下列两种之一：3k，3k＋1。

（3）不是5的因数或倍数的数的平方为5k＋－1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

（4）形式具有下列形式之一：16m，16m＋1，16m＋4，16m＋9。

（5）如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

（6）在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

（7）一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。

有关完全平方数的练习：

例题一、一个自然数减去45及加上44都是完全平方数，求此数。

解：设此自然是为X，依题意可得

X－45＝M²

X＋44＝N²

N²－M²＝89

（N＋M）（N－M）＝89＝89×1

可知N＋M＝89，N－M＝1，所以M＝44，N＝45

这样这个数为44²＋45＝1981或45²－44＝1981

例题二、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

解：设这数减去63为A²，减去100为B²

则A²－B²＝（A＋B）（A－B）＝100－63＝37×1

可知A＋B＝37，且A－B＝1，所以A＝19，B＝18

这样这个数为18²＋100＝424或19²＋63＝424