0是属于自然数吗

0其实是个非常重要的数字，虽然它表示什么都没有，但是这个符号的诞生却在数学史上具有划时代的意义。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。短短几十年，从“0不是自然数”到“0是最小的自然数”，人们的认识又有了一个飞跃。

0是属于自然数吗

是。零是数字，零是整数，我们受过基础教育，觉得这些认识都很自然。零居然是自然数，这个认识就显得不那么自然。我们平常数数，数某种事物有多少，不都是从1 开始吗？没见过从0 开始数的。如果哪位指着一堆苹果开始数：“0、1、2、3、4……”大概会有人觉得他不正常。

1889年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858年—1932年） 提出五条公理，可用文字描述如下：

公理 1：1 是自然数；

公理 2：每个确定的自然数 a，后面都有一个确定的相邻数 a′，a′也是自然数；

公理 3：1 不是任何自然数后面的相邻数；

公理 4：不同自然数拥有不同的相邻数；

公理 5：任意关于自然数的命题，如果能证明该命题对 1 为真，并且它对自然数 a 为真时可证明它对 a′也为真，那么这个命题就对所有自然数为真。

这五条公理称为“皮亚诺公理”，其中第一条、第三条和第五条公理，都不假思索地认定 1 是最小的自然数。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系，严丝合缝，堪称数学大厦的一块基石。

皮亚诺为数学大厦提供基石的同时，别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦。19 世纪末，就在皮亚诺提出五条公理不久以后，数学的一大分支“群论”发展到关键时期，一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数，发现了一个非常危险的破绽：如果不把零放进自然数群，整数群就会变得不完整。所以，为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑，为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧， 这些数学家就让零加入自然数家族，成为最小的自然数。

自然数是什么意思？

例如：（定义）0是自然数，

1是自然数，

2是自然数，

……

由于自然数有无限个，上述自然数1、2、3的定义都符合数学定义的逻辑。但按上述定义自然数相当于要对每个自然数下个定义，显然，上述定义自然数的方法虽然没有逻辑上的错误，但不符合定义的简洁性，概括性。下面给出一个关于自然数的定义供大家参考。

1）0是自然数，1是0的后继；

2）自然数的后继是自然数；

3）若n是自然数，则n+1是它的后继。

自然数的性质：

1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a+0=a；a+S（x）=S（a+x），其中，S（x）表示x的后继者。

如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b+1=b+S（0）=S（b+0）=S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“×”定义为：a×0=0；a×S（b）=a×b+a自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。

4、传递性：设n1，n2，n3都是自然数，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

5、三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2或n1。

6、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm（m>n，m，n都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。

具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。

关于0的描述：

1、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的数。零是自然数，是整数，是偶数。

A、零是表示具有相反意义的量的基准数。

B、零是判定正、负数的界限。

C、在一切非负数中有一个最小值是0;在一切非正数中有一个最大值是0。

2、 零的运算性质

A、乘方：零的正整数次幂都是零。

B、除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数；0没有倒数。

C、乘法：零乘以任何数都得零。　ab=0 a、b中至少有一个是0。

D、加法　a、b互为相反数 a+b=0

E、减法（比较大小用） a-b=0 a=b；a-b>0 a>b；a-b<0 a<b

3、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度，不能省略。

0的性质：

1、0最小的自然数。

2、0不是奇数，是偶数（一个非正非负的特殊偶数）。

3、0既不是质数，也不是合数。

4、0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。

5、0不可作为多位数的最高位。不过有些编号中需要前面用0补全位数。

6、0乘任何实数都等于0，0除以任何非零实数都等于0；任何实数加上或减去0等于其本身。

7、0没有倒数和负倒数。

8、0不能做分母、除法运算的除数、比的后项。

9、0的正数次方等于0；0的非正数次方（0次方和负数次方）无意义，因为0不能做分母。

10、0不能做对数的底数或真数，即1og0x和1oga0都无意义。

0的历史：

0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。公元前3千年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。

标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。他们最早用黑点表示零，后来逐渐变成了“0”。在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字）。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立（如除以0），甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。