四个常用均值不等式

均值不等式也叫做基本不等式，是一个重要的数学知识模块，同时能与多个知识分支相互融合，真正的掌握了这个知识模块，就能很好的提高孩子们的思维能力。以下是对相关知识点的总结，欢迎大家阅读和学习。

四个常用均值不等式

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

何为均值不等式

既然叫均值不等式，那肯定和平均值有关。

那么首先问大家一个问题，初中学习的求平均值的方法是什么？

没错，就是把几个数相加，然后用和去除以总个数。

这种求平均值的方式我们叫做求算术平均值。

又提到数学上的CP了。数学上，算术和几何也是一对CP。

也就说，既然有求算术平均值，那么相对应的就有求几何平均值。

算术平均值是把数相加，几何平均值则是把数相乘。

算术平均值用和除以总个数，几何平均值用积开总个数次方。

而均值不等式就是表示相同数之间的算术平均值与几何平均值之间的关系的不等式。

几个数的算术平均值永远≥几何平均值。

均值不等式的使用方法

方法一：“定和”与“拼凑定和”

1、公式：若a，b∈R*，则a＋b≥2√ab（当且仅当a＝b时取“＝”）

推论：（1）若a，b∈R，则a²＋b²≥2ab（2）a＋1/a≥2（a＞0）（3）b/a+a/b≥2（a，b＞0）

2、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”。

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致。

3、技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。

方法二：“定积”与“拼凑定积”

技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。

方法三：“和积化归”

技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。

方法四：“化1”与“拼凑化1”

1、技巧：化1法流程为：①条件化1，与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。

2、注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。

方法五：“复杂分式构造”

1、技巧：把分式化为齐次式，可通过拼凑和同除的方法进行构造出均值定理的形式再进行求解最值。

2、注意：要观察取等条件，看是否满足定义区间。

方法六：“换元法”

1、方法：代数换元、三角换元。

2、技巧：代数换元：先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定单调性进而求解最值。三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解。

方法七：“消元法”

技巧：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有：①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元；②对齐次式可通过构造比值消元。

方法八：“平方法”

技巧：当碰到含多个根号的形式或条件与问题次幂不统一时可以尝试对其平方，再进一步构造进而形成可用均值定理的形式。

方法九：“连续均值”

技巧：连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性。

均值不等式的应用

已知正实数x，y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1，则x＋y的最小值是？

解一：换元x+3y-1=a，2x+y-1=b解方程组可得

x=(3b-a=2)/5，y=(2a-b+1)/5

所以x＋y＝(a+2b=3)/5

本题转化为“已知a＞0，b＞0，ab＝1，求(a＋2b＋3)/5”的最小值，

直接均值不等式即可(a＋2b＋3)/5≥(2√2ab+3)/5=(2√2+3)/5。

解二：配凑+待定系数，

x+y＝λ(x+3y-1)＋μ(2x+y-1)+t=(λ+2μ)x+(3λ+μ)y+t-λ-μ，

可得方程组λ+2μ=1，3λ＋μ＝1，t＝λ＋μ，解得λ=1/5，μ=2/5，t=3/5。

再换元解决即可。