裂项公式大全

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。

裂项公式大全

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

裂项相消三大特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 。

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

裂项求和

裂项求和是指将一个多项式的一系列项拆开成若干个小多项式的和。

裂项求和的八种形式：

1. 等差数列求和公式：$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

2. 等差数列求和公式的推广：$a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)=\frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$

3. 平方和公式：$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

4. 立方和公式：$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

5. $a^n-b^n$的因式分解公式：$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

6. $a^n+b^n$的因式分解公式（n为奇数）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+ab^{n-2}-b^{n-1})$

7. $a^n+b^n$的因式分解公式（n为偶数）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})$

8. 二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，其中$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$表示n个不同元素中取k个元素的组合数。