有界性的判断方法

若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M,x∈D。则称函数y=f（x）在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

有界性的判断方法：

1、放缩法。

对原函数进行放缩，使原函数变为一个常数，或者简化原函数从而找出M。

2、定义法。

函数既有上界又有下界，则函数有界。所以可以分别证明f有上界，f有下界，则f有界。

3、运算法。

若f，g在相同的定义域上均有界则f和g做加法，减法，乘法后得到的函数仍有界函数。

4、闭区间上的连续函数有界，若函数定义在闭区间上，证明函数连续，则函数有界。

函数在某区间上，要么有界要么无界，二者必属其一；证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|f（x）|<M。

证明无界的思路是：对任意正数M，总存在x，使得|f（x）|>M。

若存在两个A和B，对一切x∈Df恒有A≤f（x）≤B，则称函数y=f（x）在Df内是有界函数，否则为无界函数。

闭区间上连续函数的性质：

1、闭区间[a,b]上的连续函数f（x），必在[a,b]上有界。

2、闭区间[a,b]上的连续函数f（x）在[a,b]上必有最大值和最小值。

3、闭区间[a,b]上的连续函数f（x）可以取到最小值和最大值之间的一切值。

若将闭区间[a,b]换为开区间（a,b），结论不一定成立。

举几个简单但能说明问题的反例如下：

1、f（x）=1/x在（0,1）上是连续的，但它在（0,1）上无界。

2、f（x）=x在（0,1）上是连续的，但在（0,1）上既不取得最大值，也不取得最小值。因该函数的最大值和最小值应是在端点处取得，但端点0，1都不属于（0,1）。

函数除了有界性还有哪些特点？

1、函数的单调性：

设函数y=f（x）的定义域为D,区间I含于D.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调增加的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

函数单调性举例：

函数y=x2在区间（-∞，0]上是单调减少的，在区间[0,+∞）上是单调增加的，在（-∞，+∞）上不是单调的。

2、函数的奇偶性：

设函数f（x）的定义域D关于原点对称（即若x∈D,则-x∈D）。如果对于任一x∈D,有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。

如果对于任一x∈D,有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

奇偶函数举例：

y=x2，y=cosx都是偶函数。

y=x3，y=sinx都是奇函数，y=sinx+cosx是非奇非偶函数。

3、函数的周期性：

设函数f（x）的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一x∈D有（x±l）∈D,且f（x+l）=f（x），则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期。

周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形有相同的形状。