勾股数必须是整数吗

勾股定理，相信同学们都不陌生，是一个基本的几何定理。而对于勾股数的定义相信很多同学就会出现不了解的情况了。如果三个正整数中，较小两个数的平方和等于最大数的平方，那么，以这三个数为边长的三角形是直角三角形，因而具备上述特点的三个正整数数称为一组勾股数，简称勾股数。

勾股数必须是整数吗

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数必须是整数。例如一下常用的勾股数都是正整数：

（1）(3，4，5)，(6，8，10)……

3n，4n，5n(n是正整数)

（2）(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)……

2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1(n是正整数)

（3）(8，15，17)，(12，35，37)……

2^2*(n+1)，[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1(n是正整数)

（4）m^2-n^2，2mn，m^2+n^2(m、n均是正整数，m>n)

勾股数有什么规律

1、第一组勾股数

3，4，5

5，12，13

7，24，25

9，40，41

11，60，61

13，84，85

15，112，113

首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。

我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9，5²=25，7²=49

大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：

3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25

我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41，11²=121=60+61

目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：

一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数（n≠1），那么以n为最小值的一组勾股数可以是：n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。

2、第二组勾股数

6，8，10

8，15，17

10，24，26

12，35，37

14，48，50

16，63，65

18，80，82

我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36，10+8=18

8²=64，15+17=32

10²=100，24+26=50

这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)

初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：

设m为一正偶数(m≠0，m≠2，m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：

m，(m²/4)-1，(m²/4)+1

验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²

=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]

=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1

=m²

验证成功，可总结为以下规律：

当一个正偶数为最小值时，它(除0，2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

设m为一正偶数(m≠0，m≠2，m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1。

3、特殊的勾股数规律

①12，16，20②18，24，30

首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。

3，4，5分别乘4得12，16，20

6，8，10分别乘3得18，24，30

一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：

任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：

设a²+b²=c²，则a，b，c分别乘n后为：

(na)²+(nb)²

=n²a²+n²b²

=n²(a²+b²)

=n²c²

=(nc)²

总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。

勾股定理必背10个公式

1、直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。

2、(3，4，5)，(6，8，10)……3n，4n，5n(n是正整数)。

3、(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)……2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1(n是正整数)。

4、(8，15，17)，(12，35，37)……2^2*(n+1)，[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1(n是正整数)。

5、m^2-n^2，2mn，m^2+n^2(m、n均是正整数，m>n)。

6、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

7、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

8、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

9、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

10、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。