数学抛物线的基本知识点

数学抛物线是初中阶段的一个重点和难点，尤其是对于很多答题来说是比较常出的一个考点，对此，建议同学们对其基础概念一定要掌握牢固。

数学抛物线的基本知识点

抛物线是一种圆锥曲线，指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

定义

右开口抛物线：y2=2px。

左开口抛物线：y2=-2px。

上开口抛物线：x2=2py。

下开口抛物线：x2=-2py。

(p>0)[p为焦准距]。

特点

在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2,0)，准线的方程是x=-p/2，离心率e=1，范围：x≥0。

在抛物线y2=-2px中，焦点是(-p/2,0)，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0。

在抛物线x2=-2py中，焦点是(0,p/2)，准线的方程是y=-p/2，离心率e=1，范围：y≥0。

在抛物线x2=2py中，焦点是(0,-p/2)，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0。

几何性质

1、有关切线、法线的几何性质：

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。

（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。

（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。

（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。

2、有关弦的几何性质：

（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。

（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。

（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。

（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP²=AM*BN。

相关例题

已知准线l上有一点P，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若向量PF＝4向量MF，求|MN|。

【解析】由题可知，点F的坐标为（1，0），

∵向量PF＝4向量MF，∴向量PM＝3向量MF，过点M作MQ⊥直线l于点Q，则|MF|=|MQ|，

∴在RtA⊿PQM中，cos∠PMQ＝|MQ|/|PM|＝|MF|/|PM|=1/3，∴tan∠PMQ＝2√2，

∴直线MN的方程为y＝2√2（x－1），

联立y＝2√2（x－1），y²=4x，得2x²－5x＋2＝0，解得x＝2或1/2，

由抛物线的定义可知，|MN|＝2＋1/2＋2＝9/2。