同角三角函数的基本关系

三角六函数，同角关系最基础。在学习三角函数的过程中我们可以发现，在单位圆中，对于同一个角，三个三角函数存在着某些联系，这些联系我们就称为同角三角函数的基本关系。

同角三角函数的基本关系

1、平方关系：对于任意角α，其正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin²α + cos²α = 1。这一关系式是三角函数的基本恒等式，也是求解三角函数问题的基础。

2、商数关系：正切函数等于正弦函数与余弦函数的商，即tanα = sinα/cosα。需要注意的是，这一关系式在cosα≠0的情况下成立。

3、互余角关系：若两角的和为90°，则这两个角互为互余角。对于互余角α和β，有sinα = cosβ，cosα = sinβ，tanα = 1/tanβ。这一关系式在解决一些特定问题时非常有用。

同角三角函数关系的推导与应用

推导过程：同角三角函数的基本关系可以通过单位圆和直角三角形的性质进行推导。在单位圆上，正弦函数和余弦函数分别表示点P的y坐标和x坐标，因此sin²α + cos²α = 1。正切函数表示点P的斜率，即tanα = sinα/cosα。互余角关系可以通过直角三角形的性质进行推导。

应用举例：同角三角函数的基本关系在解决三角函数问题时具有广泛的应用。例如，在求解三角形的角度和边长时，可以利用平方关系和商数关系求解未知的角度或边长；在分析物理现象时，可以利用互余角关系描述振动的周期性变化；在解决工程问题时，可以利用同角三角函数的关系分析机构的运动规律等。

同角三角函数题型及解题方法

三角函数的求值是三角函数的基本题型，也是高考命题的重点，主要有以下命题角度：

（1）求值，利用诱导公式与同角三角函数关系，以及两角和与差的三角函数公式、倍角公式等求值；

（2）求角，根据已知先求角的三角函数值，然后确定角的范围求值。

此类问题以选择题和填空题为主，也隐含在解答题中进行考查，题目比较简单，属于低档题，分值为5分。

解题方法和模板：

（1）三角函数求值题可以用函数和方程思想，联立求解。

（2）借助直线与单位圆的知识，运用数形结合求解。

（3）齐次化，多用于求正切值题型。通常将分母1转换，再分子分母同除余弦值的平方，达到构建正切一元二次方程的目的。

总结：应用三角公式解决问题的三个变换角度

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。

（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。

相关练习题

1、cos+cosπ+cosπ+cosπ的值为（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

2、已知1-cos（π-α）＝2sinα，那么tanα的值为＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、已知α为锐角，且2tan（π-α）-3cos（+β）+5＝0，tan（π+α）+6sin（π+β）＝1，则sinβ的值为＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填写序号）。

①cos（A+B）＝cosC；

②cos＝sin；

③sin（2A+B+C）＝-sinA。