质数是什么

质数的意思是素数，除本身的绝对值外，不可能为大于1的整数除尽的数。比如1就是质数，因为它只能被1和它自身整除。2也是质数，因为它也是只能被1和它本身整除。

质数是什么？

1、质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。 

2、质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，是素数或者不是素数。 

3、如果为素数，则要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

质数具有许多独特的性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式是不减函数。

（5）若n为正整数，在n2到 (n+1)2之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到n！之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n(n≥4的最大质数，则p>n/2。

（8）所有大于10的质数中，个位数只有1，3，7，9。

为什么质数有无穷多个？

假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是质数或是合数。如果N+1为质数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的质数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个质数的积，然而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的质因数肯定不在假设的质数集合中。因此无论该数是质数还是合数，都意味着在假设的有限个质数之外还存在着其他质数，也就是说质数有无穷多个。

如何寻找质数?

虽然质数有无穷多个，但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼(我们之前谈到过，就是那个测量出地球半径的人)给出了一种制作质数表的方法:筛选法。

他的思路是：要找到一个小于某自然数n的全部质数，只需要按照下面的方式：

1. 找到这个数字的平方根m=√m

2. 找到不大于m的所有质数。

3 .在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍(质数本身不划掉)

4. 把1划掉。

5. 没有划掉的数字就是质数。

例如，我们要找到100以内的所有质数，只需要按照下面的步骤进行：

1.计算100的平方根，是10。

2.10以内的质数有2、3、5、7

3.划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数，如4、6、8…、98、100，然后划掉3的倍数，如6、9、12、15、…、99，重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数，7的倍数。

4. 最后划掉1。

5. 表中余下的数字就是质数。

这个方法的依据是:如果一个数字是合数，那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法：如果所有质因子都大于它的平方根，两个质因子相乘就会比它大了。

质数的应用？

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的；都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。