奇偶函数的定义

奇函数和偶函数的定义就是若为奇函数，则满足-f（x）=f（-x）公式，若为偶函数则满足f（x）=f（-x），一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

奇偶函数的定义：

奇函数定义：奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

对定义理解：

①定义域关于原点对称。

②f（-x）= - f（x）

等价表达f（-x）＋ f（x）=0

这两条是奇函数必备条件，缺一不可。

偶函数定义：对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫做偶函数（Even Function）。

对定义的理解：

①定义域关于原点对称。

②f（-x）= f（x）=f（｜x｜）

等价表达：f（-x） - f（x）=0

定义可以做为判断函数是否为奇偶函数的方法。

奇函数性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

偶函数性质：

1、图象关于y轴对称。

2、满足f（-x） = f（x）。

3、关于原点对称的区间上单调性相反。

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数，那么有f（x）=0。

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）。

函数奇偶性的证明方法一般有：

⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同。

⑵图像法：f（x）为奇函数<=>f（x）的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f（x）为偶函数<=>f（x）的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）

⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。

奇偶函数四则运算性质：

假设两个具有奇偶性的函数的定义域的交集非空，则这两个函数的的四则运算后的奇偶性一般有如下结论成立：

1、奇函数±奇函数=奇函数。

2、偶函数±偶函数=偶函数。

3、奇函数±偶函数=非奇非偶函数。

4、偶函数±奇函数=非奇非偶函数。

5、奇函数×奇函数=偶函数。

6、偶函数×偶函数=偶函数。

7、奇函数÷奇函数=偶函数。

8、偶函数÷偶函数=偶函数。

9、奇函数×偶函数=奇函数。

10、偶函数×奇函数=奇函数。

11、奇函数÷偶函数=奇函数。

12、偶函数÷奇函数=奇函数。