点到直线的距离公式推导过程

点到直线的距离公式是高中数学中非常重要的一个公式。如果想要灵活运用这个公式，不能单靠记忆，更要理解这个公式的推导原因以及过程。

点到直线的距离公式推导过程

已知：直线Ax＋By＋c＝0，点p（x。，y。）求点p到直线l的距离。

推导步骤：

第一步、要构造直角三角形PMN。

第二步、过点p作直线l的垂线d。

第三步、分别把x。和y。直线Ax＋By＋c＝0，用x。来表示求M点的纵坐标，用y。来表示N点的横坐标。

第四步、分别表示出PM、PN、MN的长度。

第五步、根据面积相等，化简求出距离d。

点到直线的距离公式的定义：

点到直线距离公式是指求解一个点到一条直线的距离的公式。在二维平面几何中，我们可以将点和直线表示为坐标系中的点和方程，用数学公式来计算距离。点到直线的距离是指从点到直线上垂直的线段长度，也就是最短距离。

点到直线的距离公式的原理：

点到直线距离公式是通过向量上的投影实现的。我们可以将直线看作一个向量，点到直线的距离就是点到该向量的垂线距离。这个垂线投影的长度可以通过向量叉积求得。具体地，设点为P（x1，y1），直线L的一般式为ax＋by＋c＝0，则点P到L的距离为：

d＝｜ax1＋by1＋c｜／√（a2＋b2）

其中，｜……｜表示取绝对值，√（……）表示取平方根。

有关点到直线距离的经典例题：

例一

下列说法中正确的个数有（）（）

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③平行于同一直线的两条直线互相平行；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离。

A、4个B、3个C、2个D、1个

【分析】

本题考查了直线、线段的性质，点到直线的距离，两点间的距离的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键……根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得解。

【解答】

解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；

②过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本命题错误；

③平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；

④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本命题错误；

综上所述，正确的有①，③共22个。

故选C。

例二

点P为直线MN外一点，点A、B、C为直线MN上三点，PA＝4厘米，PB＝5厘米，PC＝2厘米，则P到直线MN的距离为（）

A、4厘米B、2厘米C、小于2厘米D、不大于2厘米

∵PA＝4厘米，PB＝5厘米，PC＝2厘米，

∴P到直线MN的距离为：不大于2厘米。

故选：D.

根据题意画出图形，进而结合点到直线的距离得出符合题意的答案。

此题主要考查了点到直线的距离，正确画出图形是解题关键。