空间向量平行公式和垂直公式

对于高二的学生，学到空间向量，整体上应该感觉不是很难，但还是在有些时候会有些困惑，尤其是在使用空间向量法证明线与面的平行或垂直的问题上，其实这通常涉及向量的点乘或叉乘运算。那么，接下来是对其公式的整理，方便大家直接应用。

空间向量平行公式和垂直公式

向量平行公式：向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)。x1y2x2y1=0。a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

向量垂直公式：向量a=(a1，a2)，向量b=(b1，b2)。ab：a1b1=a2b2或a1b1=a2b2或a=λb（λ是一个常数）。

空间向量平行和垂直的问题

（1）线线平行：a∥b(b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)。

（2）线线垂直：a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2 =0；或若直线a的方向向量为a，直线b的方向向量为b，a⊥b⇔a·b=0。

（3）线面平行：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a∥平面α⇔a⊥n。

（4）线面垂直：若平面α的法向量为n，直线a的方向向量为a，则直线a⊥平面α⇔a∥n。

（5）面面平行：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α∥β⇔n1∥n2。

（6）面面垂直：若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，则α⊥β⇔n1⊥n2。

空间向量知识点总结

1、空间向量的概念

具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）空间的一个平移就是一个向量。

（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2、共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作a//b。

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

3、空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC。

4、空间向量的夹角及其表示

已知两非零向量a，b在空间任取一点O，作OA=a，OB=b则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>；且规定0≤<a，b>≤π，显然有<a，b>=<b，a>；若<a，b>=π/2，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b。