平行线的判定定理

平行线指同一平面上两条不相交的线。在数学几何中，平行线公理是几何中的重要概念。欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。

平行线的判定定理

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的定义

在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。

在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的。

基本特征

平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。

欧氏几何中平行线的性质和判定

平行线的性质

平行线的性质与平行线的判定不同，平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系，平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题。对平行线的判定而言，两直线平行是结论，而对平行线的性质而言，两直线平行却是条件。已知两直线平行。由平行线得到角的关系是平行线的性质，包括：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

平行线的平行公理

1、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

注意：只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才会相等，内错角相等同旁内角互补。

拓展知识：平行线可相交原理

在欧几里得几何中，平行公设认为通过一点外一直线的唯一平行线只有一条。这意味着任意直线和一点之间只能有一条平行线。基于这个公设，我们得出结论：平行线永远不会相交。这一结果在几何学的许多应用中得到了广泛使用，并成为我们理解空间关系和测量的基础。

然而，非欧几里得几何提出了不同的观点。在非欧几里得几何中，存在多种公设，其中一种是“平行公设的否定”。这意味着通过一点外一直线的平行线可以有多条，因此平行线可以相交。非欧几里得几何通过引入曲率或超越平面的概念，提供了一种不同于欧几里得几何的几何学模型。

在球面几何学中，我们可以考虑地球表面上的经线和纬线。这些线是曲线，但它们在地球表面上是平行的，没有相交的点。然而，在双曲几何学中，我们可以想象一个双曲面上的平行线系统。这些平行线可以相交，这与欧几里得几何的观点截然不同。双曲几何学展示了平行线可以相交的可能性，并拓展了我们对空间关系的理解。

需要指出的是，在日常生活中，我们通常使用的是欧几里得几何，其中平行线不会相交的理念是有效的。欧几里得几何在测量、建筑、工程等领域得到了广泛应用，并为我们提供了一种准确而可靠的空间描述方法。

然而，非欧几里得几何的发现告诉我们，几何学不仅仅局限于欧几里得的观点。通过引入不同的公设和几何学模型，我们可以探索平行线相交的可能性。这种探索不仅在数学领域具有重要意义，还对哲学、物理学等学科产生了深远影响。

值得注意的是，我们的日常生活中很少遇到需要考虑平行线是否相交的情况。欧几里得几何提供的模型足以解释和描述我们所处的平面世界。因此，在实际应用中，我们仍然依赖于欧几里得几何的观点。

综上所述，根据欧几里得几何的平行公设，平行线在平面上永远不会相交。这一观点在大多数实际情况下是有效的，并为我们提供了一种可靠的几何学模型。然而，非欧几里得几何的出现揭示了平行线相交的可能性，并为我们提供了对几何学得更深入理解。